如图，四边形ABCD是O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB=3∠AOB，OC=23，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）

Question

如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．

（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2√(3)，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；

（2）∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC-∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2√(3)，
∴OE=OC•tan∠OCE=2√(3)•tan30°=2√(3)×(√(3))/(3)=2，
∴S_△OEC=(1)/(2)OE•OC=(1)/(2)×2×2√(3)=2√(3)，
∴S_扇形OBC=(90π×(2√(3))2)/(360)=3π，
∴S_阴影=S_扇形OBC-S_△OEC=3π-2√(3)．