如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱（其中R，h均为常数）．（1）当x=23h时，求内接圆柱上方的圆锥的体积V；（2）当x为何值时，这个内接圆柱的侧面

Question

如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱（其中R，h均为常数）．
（1）当x=(2)/(3)h时，求内接圆柱上方的圆锥的体积V；
（2）当x为何值时，这个内接圆柱的侧面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
设圆柱底面半径为r，则(r)/(R)＝(h−x)/(h)（3分）
（1）当x＝(2)/(3)h时，r＝(1)/(3)R，SK＝(1)/(3)h
∴V＝(1)/(3)•πr2•SK＝(1)/(3)•(1)/(9)πR2•(1)/(3)h=(1)/(81)πhR2
（2）设圆柱的侧面积为S．
∵r＝(h)/(R)(h−x)，
∴S＝2π•(h)/(R)(h−x)x=−(2πR)/(h)(x−(h)/(2))2+(πRh)/(2)
∴当x＝(h)/(2)时，Smax＝(πRh)/(2)．