在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为多少时，它的面积最大？

Question

在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为多少时，它的面积最大？

Answer 1

如图，设圆内接等腰三角形的底边长为2x，高为h，那么
h＝AO+DO＝R+√(R2−x2)，
解得x²=h（2R-h），于是内接三角形的面积为：S＝x•h＝√(h(2R−h))•h＝√((2Rh3−h4))，
从而S′＝(1)/(2)(2Rh3−h4)−(1)/(2)(2Rh3−h4)′＝(1)/(2)(2Rh3−h4)−(1)/(2)(6Rh2−4h2)=(h2(3R−2h))/(√((2R−h)h3))，
令S′=0，解得h＝(3)/(2)R，由于不考虑不存在的情况，所在区间（0，2R）上列表示如下：

h	(0，(3)/(2)R)	(3)/(2)R	((3)/(2)R，2R)
S′	+	0	-
S	增函数	最大值	减函数

由此表可知，当h＝(3)/(2)R时，等腰三角形的面积最大