中线长定理的证明在三角形ABC中的任一一点中就是证明斯特沃特定理。在三角形ABC中的任一一点D，E是重心（就是三条中线的交点）。DA的平方加上DB的平方加上DC的平方会等于EA的平方加上EB

Question

中线长定理的证明
在三角形ABC中的任一一点中
就是证明斯特沃特定理。
在三角形ABC中的任一一点D，E是重心（就是三条中线的交点）。DA的平方加上DB的平方加上DC的平方会等于EA的平方加上EB的平方加上EC的平方加上3个DE的平方
1楼的朋友，"AE=2ME,cos∠AED=-cos∠MED"是为什么？有没有打错？
“DM,EM分别是△DBC,△EBC的中线，
2DM^2=DB^2+DC^2-BC^2/2,”
这个又怎么证？

Answer 1

结论最后应该是“加上3个DE的平方”.
设BC中点为M,在△ADE,△MDE中应用余弦定理,得
AD^2=AE^2+DE^2-2*AE*DE*cos∠AED,
MD^2=ME^2+DE^2-2*ME*DE*cos∠MED,
因为AE=2ME,cos∠AED=-cos∠MED,所以
AD^2+2MD^2=AE^2+2ME^2+3DE^2.(*)
DM,EM分别是△DBC,△EBC的中线,
2DM^2=DB^2+DC^2-BC^2/2,
2EM^2=EB^2+EC^2-BC^2/2,
代入(*)式,即得
DA^2+DB^2+DC^2=EA^2+EB^2+EC^2+3DE^2.
用解析几何的方法也不难证明.还可以用物理中转动惯量的有关定理证明.
AE=2ME,重心把中线分成2:1的两段.
cos∠AED=-cos∠MED,因为∠AED+∠MED=180°.
“DM,EM分别是△DBC,△EBC的中线,
2DM^2=DB^2+DC^2-BC^2/2,”
这个一般叫中线长公式,该学过吧.