超难,高三数学!请自己思考,不要复制,!将一个圆等分为n个扇形,相邻涂不同颜色,有3种颜色可选（可用3种,也可只用2种）,问有多少种不同的涂法?求过程!（答案：2^n-2*(-1)^(n-3)）

Question

超难,高三数学!请自己思考,不要复制,!
将一个圆等分为n个扇形,相邻涂不同颜色,有3种颜色可选（可用3种,也可只用2种）,问有多少种不同的涂法?求过程!（答案：2^n-2*(-1)^(n-3)）

Answer 1

用递推式.
首先,我们考虑,n个扇形的情况(n>3);
应用乘法原理,分步,不考虑最后一个和第一个不同,
此时有3*2^(n-1)个,
然后我们计算其中有多少种方案最后一个和第一个是相同颜色的,如果相同,将它们看成一个整体,则此时正好构成一个n-1个扇形的相邻不同色的设计方案.
也就是说我们设n块扇形,相邻不同色的涂法是A(n)的话,有A(n)=3*2^(n-1)-A(n-1).
下面有两个思路,(I)既然你知道答案了,可用数学归纳法和上面的递推公式,证明结论成立.
(II)应用数列,A(3)=6,A(n)=3*2^(n-1)-A(n-1)=3*2^(n-1)-3*2^(n-2)+A(n-2)=3*2^(n-1)-3*2^(n-2)+3*2^(n-3)-A(n-3)=……应用等比数列求和公式,分n是奇数还是偶数讨论,也能得到上述结果.
有问题可以再问