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已知扇形的面积为定值S,当扇形的圆心角为多少弧度时,扇形的周长取到最小值
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已知扇形的面积为定值S,当扇形的圆心角为多少弧度时,扇形的周长取到最小值
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答案和解析
设半径是r,圆心角是θ
则S=r^2θ/2,
θ=2S/r^2
周长=2r+rθ=2r+2S/r≥2√(2r*2S/r)=4√S
当2r=2S/r,即r^2=S时取等号,此时θ=2S/r^2=2
所以当θ=2时,扇形的周长最小,最小值=4√S
则S=r^2θ/2,
θ=2S/r^2
周长=2r+rθ=2r+2S/r≥2√(2r*2S/r)=4√S
当2r=2S/r,即r^2=S时取等号,此时θ=2S/r^2=2
所以当θ=2时,扇形的周长最小,最小值=4√S
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