若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，

Question

若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β

（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．
（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是

α=∠APB+(1)/(2)β或α+∠APB=(1)/(2)β

α=∠APB+(1)/(2)β或α+∠APB=(1)/(2)β

．（用α、β表示）
（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P₁，∠EAP₁与∠FBP₁的平分线交于P₂；依此类推，则∠P₅=

α-(31)/(32)β

α-(31)/(32)β

．（用α、β表示）

Answer 1

（1）∵AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，
∴∠MAC+∠NCB=(1)/(2)∠EAC+(1)/(2)∠FBC=(1)/(2)β，
∵AM∥BN，
∴∠C=∠MAC+∠NCB，
即α=(1)/(2)β；
（2）∵∠EAC的平分线与∠FBC平分线相交于P，
∴∠PAC+∠PBC=(1)/(2)∠EAC+(1)/(2)∠FBC=(1)/(2)β，
若点P在点C的下方，则∠C=∠APB+（∠PAC+∠PBC），
即α=∠APB+(1)/(2)β，
若点P在点C的上方，则∠C+∠APB=∠PAC+∠PBC，
即α+∠APB=(1)/(2)β；
综上所述，α=∠APB+(1)/(2)β或α+∠APB=(1)/(2)β；

（3）由（2）得，∠P₁=∠C-（∠PAC+∠PBC）=α-(1)/(2)β，
∠P₂=∠P₁-（∠P₂AP₁+∠P₂BP₁），
=α-(1)/(2)β-(1)/(4)β=α-(3)/(4)β，
∠P₃=α-(3)/(4)β-(1)/(8)β=α-(7)/(8)β，
∠P₄=α-(7)/(8)β-(1)/(16)β=α-(15)/(16)β，
∠P₅=α-(15)/(16)β-(1)/(32)β=α-(31)/(32)β．
故答案为：（2）α=∠APB+(1)/(2)β或α+∠APB=(1)/(2)β；（3）α-(31)/(32)β．