设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（）A．α1+α2，α2+α3，α3-α1B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D．α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3

Question

设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（　　）

A．α₁+α₂，α₂+α₃，α₃-α₁
B．α₁+α₂，α₂+α₃，α₁+2α₂+α₃
C．α₁+2α₂，2α₂+3α₃，3α₃+α₁
D．α₁+α₂+α₃，2α₁-3α₂+22α₃，3α₁+5α₂-5α₃

Answer 1

对于选项A：
因为α₃-α₁=（α₂+α₃）-（α₁+α₂），
故向量组α₁+α₂，α₂+α₃，α₃-α₁线性相关，
从而排除A．
对于选项B：
因为α₁+2α₂+α₃=（α₁+α₂）+（α₂+α₃），
故向量组α₁+α₂，α₂+α₃，α₁+2α₂+α₃线性相关，
从而排除B．
对于选项C：
若存在常数k₁，k₂，k₃，使得：
k₁（α₁+2α₂）+k₂（2α₂+3α₃）+k₃（3α₃+α₁）=（k₁+k₃）α₁+（2k₁+2k₂）α₂+（3k₂+3k₃）α₃=0，
由于向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则有：

k1+k3＝0

2k1+2k2＝0

3k2+3k3＝0

，①
因为齐次线性方程组①的系数行列式为：
|A|=

.

1	0	1
2	2	0
0	3	3

.

=

.

1	0	1
0	2	−2
0	0	6

.

=12≠0，
故齐次线性方程组①有唯一零解，
即：k₁=k₂=k₃=0，
故向量组α₁+2α₂，2α₂+3α₃，3α₃+α₁线性无关．
从而选项C正确．
对于选项D：
类似于选项C的分析，
假设存在常数k₁，k₂，k₃，使得：
k₁（α₁+α₂+α₃）+k₂（2α₁-3α₂+22α₃）+k₃（3α₁+5α₂-5α₃）
=（k₁+2k₂+3k₃）α₁+（k₁-3k₂+5k₃）α₂+（k₁+22k₂-5k₃）α₃=0，
由于向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则有：

k1+2k2+3k3＝0

k1−3k2+5k3＝0

k1+22k2−5k3＝0

，②
因为齐次线性方程组②的系数行列式为：
|A|=

.

1	2	3
1	−3	5
1	22	−5

.

=

.

1	2	3
0	−5	2
0	0	0

.

=0，
所以齐次线性方程组②有非零零解，
故向量组α₁+α₂+α₃，2α₁-3α₂+22α₃，3α₁+5α₂-5α₃线性相关，
从而排除D．
故选：C．