数列的极限2求lim(cosX^n-sinX^n)/(cosX^n+sinX^n)X∈[0,PAI/2]n是n次方lim(n→∞)

Question

数列的极限2
求 lim (cosX^n-sinX^n)/(cosX^n+sinX^n) X∈[0,PAI/2]
n是n次方
lim(n→∞)

Answer 1

[(cosx)^n－(sinx)^n]/[(cosx)^n＋(sinx)^n]
若x＝0,结果是1
若x＝π/2,结果是－1
若x＝π/4,结果是0
若0＜x＜π/4,[(cosx)^n－(sinx)^n]/[(cosx)^n＋(sinx)^n]＝[1－(tanx)^n]/[1＋(tanx)^n] → [1－0]/[1＋0]＝1
若π/4＜x＜π/2,[(cosx)^n－(sinx)^n]/[(cosx)^n＋(sinx)^n]＝[(cotx)^n－1]/[(cotx)^n＋1] → [0－1]/[0＋1]＝－1
所以,
当0≤x＜π/4时,极限是1；
当π/4＜x≤π/2时,极限是－1；
当x＝π/4时,极限是0.