已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2（bn+1-bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设a1=λ<0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且Mm∈（-2，2）

Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），n∈N^*．
（1）若b_n=3n+5，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a₁=λ<0，b_n=λⁿ（n∈N^*），求λ的取值范围，使得{a_n}有最大值M与最小值m，且(M)/(m)∈（-2，2）．

Answer 1

（1）∵a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），b_n=3n+5，
∴a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（3n+8-3n-5）=6，
∴{a_n}是等差数列，首项为a₁=1，公差为6，
则a_n=1+6（n-1）=6n-5；
（2）∵b_n=λⁿ，∴a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（λⁿ⁺¹-λⁿ），
当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（λⁿ-λ^n-1）+2（λ^n-1-λ^n-2）+…+2（λ²-λ）+λ=2λⁿ-λ．
当n=1时，a₁=λ适合上式，
∴an=2λn-λ．
∵λ<0，∴a2n=2λ2n-λ>-λ，a2n-1=2λ2n-1-λ<-λ．
①当λ<-1时，由指数函数的单调性知数列{a_n}不存在最大值和最小值；
②当λ=-1时，数列{a_n}的最大值为3，最小值为-1，而(3)/(-1)=-3∉（-2，2）；
③当-1<λ<0时，由指数函数的单调性知，数列{a_n}的最大值M=a₂=2λ²-λ，
最小值m=a₁=λ．
由

-1<λ<0

-2<(2λ2-λ)/(λ)<2

，解得-(1)/(2)<λ<0．
综上所述，λ∈（-(1)/(2)，0）时满足条件．