已知二次函数f（x）=x2-2x+3（Ⅰ）若函数y=f(log3x+m)，x∈[13，3]的最小值为3，求实数m的值；（Ⅱ）若对任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）-f（x2）|<k|x1-x2|成立，求实数k的取值范围

Question

已知二次函数f（x）=x²-2x+3
（Ⅰ）若函数y=f(log3x+m)，x∈[(1)/(3)，3]的最小值为3，求实数m的值；
（Ⅱ）若对任意互不相同的x₁，x₂∈（2，4），都有|f（x₁）-f（x₂）|<k|x₁-x₂|成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解（Ⅰ）令t=log₃x+m，∵x∈[(1)/(3)，3]，∴t∈[m-1，m+1]，
从而y=f（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2，t∈[m-1，m+1]
当m+1≤1，即m≤0时，ymin=f(m+1)=m2+2=3，
解得m=-1或m=1（舍去），
当m-1<1<m+1，即0<m<2时，y_min=f（1）=2，不合题意，
当m-1≥1，即m≥2时，ymin=f(m-1)=m2-4m+6=3，
解得m=3或m=1（舍去），
综上得，m=-1或m=3，
（Ⅱ）不妨设x₁<x₂，易知f（x）在（2，4）上是增函数，故f（x₁）<f（x₂），
故|f（x₁）-f（x₂）|<k|x₁-x₂|可化为f（x₂）-f（x₁）<kx₂-kx₁，
即f（x₂）-kx₂<f（x₁）-kx₁（*），
令g（x）=f（x）-kx，x∈（2，4），即g（x）=x²-（2+k）x+3，x∈（2，4），
则（*）式可化为g（x₂）<g（x₁），即g（x）在（2，4）上是减函数，
故(2+k)/(2)≥4，得k≥6，
故k的取值范围为[6，+∞）