已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[-π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围；已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[-π4，2π3]上单调递增，求ω的

Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[-π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围；
已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）若y=f（x）在[-(π)/(4)，(2π)/(3)]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移(π)/(6)个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

（1）∵函数y=f（x）在[?(π)/(4)，(2π)/(3)]上单调递增，且ω＞0，
∴(π)/(2ω)≥(2π)/(3)，且?(π)/(2ω)≤?(π)/(4)，
解得0＜ω≤(3)/(4)．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移(π)/(6)个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2(x+(π)/(6))+1，
∴函数y=g（x）=2sin2(x+(π)/(6))+1，
令g（x）=0，得x＝kπ+(5π)/(12)，或x=kπ+(3π)/(4)（k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为(π)/(3)或(2π)/(3)．
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b?a?14π≥(π)/(3)．
另一方面，在区间[(5π)/(12)，14π+(π)/(3)+(5π)/(12)]恰有30个零点，
因此b-a的最小值为14π+(π)/(3)＝(43π)/(3)．