为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4-k2t+1（k为常数）．如果不搞促销活动

Question

为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4-(k)/(2t+1)（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．
（1）将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

Answer 1

（1）由题意有1=4-(k)/(1)，得k=3，故x=4-(3)/(2t+1)．
∴y=1.5×(6+12x)/(x)×x-（6+12x）-t=3+6x-t=3+6（4-(3)/(2t+1)）-t=27-(18)/(2t+1)-t（t≥0）．
（2）由（1）知y=27-(18)/(2t+1)=27.5-[(9)/(t+(1)/(2))+(t+(1)/(2))]
∵(9)/(t+(1)/(2))+(t+(1)/(2))≥2√((9)/(t+(1)/(2))•(t+(1)/(2)))=6，
当且仅当(9)/(t+(1)/(2))＝t+(1)/(2)，即t=2.5时，等号成立，
∴y=27.5-[(9)/(t+(1)/(2))+(t+(1)/(2))]≤27.5-6=21.5．
当t=2.5时，y有最大值21.5．
∴2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．