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甲、乙两地相距1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过80km/h,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的14倍,固定成本为a元.

题目详情
甲、乙两地相距1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过80km/h,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的
1
4
倍,固定成本为a元.
(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?
▼优质解答
答案和解析
(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
1000
v

全程运输成本为y=
1000
v
(
1
4
v2+a),即y=1000(
1
4
v+
a
v
),定义域为(0,80],
(2)依题意知a,v都为正数,故有1000(
1
4
v+
a
v
)≥1000
a
,当且仅当
1
4
v=
a
v
,即v=2
a
时,等号成立,
①若2
a
≤80,即0<a≤1600时,则当v=2
a
时,时,全程运输成本y最小.
②若2
a
>80,即a>1600时,则当v∈(0,80]时,有y′=1000(
1
4
a
v2
)<0.
∴函数在v∈(0,80]上单调递减,也即当v=80时,全程运输成本y最小,
综上知,为使全程运输成本y最小,当0<a≤1600时行驶速度应为v=2
a
时千米/时;当a>1600时行驶速度应为v=80千米/时.
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