两个质量各为1克的质点,相距1米,保持静止,现放开一个(两者间仅受到万有引力的作用),问两者要过多久才可相遇?

Question

两个质量各为1克的质点,相距1米,保持静止,现放开一个(两者间仅受到万有引力的作用),问两者要过多久才可相遇?

Answer 1

设两质点质量为m1,m2 相距l 放开1
由牛顿第二定律有Gm1m2/(l-x)^2=m1d^2x/dt^2
又d^2x/dt^2=dv/dt
=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx
∴Gm2/(l-x)^2dx=vdv
积分得Gm2/(l-x)=v^2/2+C 又x=0,v=0
∴v^2/2=Gm2[1/(l-x)-1/l]=Gm2x/l(l-x)
v=dx/dt=(2Gm2/l)^(1/2)*[x/(l-x)]^(1/2)
[(l-x)/x]^(1/2)dx=(2Gm2/l)^(1/2)dt
∫[(l-x)/x]^(1/2)=(l-x)/(lx-x^2)^(1/2)
=[(l/2-x)+l/2]/[l^2/4-(x-l/2)^2]^(1/2)
[(l-x)/x]^(1/2)dx=(lx-x^2)^(1/2)+(l/2)arcsin[(2x-l)/l]+C
∴(lx-x^2)^(1/2)+(l/2)arcsin[(2x-l)/l]+x0=(2Gm2/l)^(1/2)t
又t=0,x=0 得x0=πl/4
∴(lx-x^2)^(1/2)+(l/2)arcsin[(2x-l)/l]+πl/4=(2Gm2/l)^(1/2)t
令x=l 得t=(πl/2)(l/2Gm2)^(1/2)即为相遇时间