如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动：动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N

Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动：动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时问为t秒．
（1）NC=______，MC=______．（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）若△PMC为等腰三角形，求t的值．

Answer 1

（1）∵AQ=3-t
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM=(NC)/(MC)=(4)/(5)，CM=(5+5t)/(4)．
（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4-t=t
解得t=2．
（3）①当MP=MC时（如图）
则有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t）
解得：t=(2)/(3)
②当CM=CP时（如图）
则有：
 (5)/(4)（1+t）=4-t
解得：t=(11)/(9)
③当PM=PC时（如图）
在Rt△MNP中，PM²=MN²+PN²
而MN=(3)/(4)NC=(3)/(4)（1+t），PN=PC-NC=（4-t）-（1+t）=3-2t，
∴[(3)/(4)（1+t）]²+（3-2t）²=（4-t）^2_，
解得：t₁=(103)/(57)，t₂=-1（舍去）
∴当t=(2)/(3)，t=(11)/(9)，t=(103)/(57)时，△PMC为等腰三角形．