如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．

Question

如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．

Answer 1

（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF为菱形；

（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE=5，
∵BD=24，
∴EF=8，OE=(1)/(2)EF=(1)/(2)×8=4，
由勾股定理得，AO=√(AE2−OE2)=√(52−42)=3，
∴AC=2AO=2×3=6，
∴S_{四边形ABCD}=(1)/(2)BD•AC=(1)/(2)×24×6=72．