试证明质点只受有心力作用,则该质点做平面运动

Question

试证明质点只受有心力作用,则该质点做平面运动

Answer 1

有心力的方向永远指向一个固定点；称此点为力中心点.许多宇宙最基本的力,像万有引力、静电力,都是有心力.
证明需要用到角动量守恒定律.
角动量守恒
具体证明如下：
μ=[r×p]（表示μ矢量等于质点的位置矢径r与质点的动量p的外积）　
μ是一个物理量,它叫做质点对于坐标系Ⅰ的原点O的动量矩或角动量.若将上式两边对时间求导数,首先就可以得到　
dμ/dt=[(dr/dt)×p]+[r×(dp/dt)]　
根据定义,p是与dr/dt方向相同的矢量,所以右边第一项为零.则　
dμ/dt=[r×(dp/dt)]=[r×f]　
此式表示,动量矩随时间变化率等于力矩.
我们现在所考虑的,是由n个质点构成的系统,其任何一个质点上都没有外力作用的情况,所以,如果把式的两边分别对j从1到n求和则可得出　
∑[1≤j≤n][dμj/dt]=∑[1≤j≤n,1≤k≤n,k>j][(rk-rj)×fjk　
在只有有心力作用的情况下,右边各项便都为零,所以,如果用下式来定义该系统的总角动量　
m=∑[1≤j≤n]μj　
则有dm/dt=0的关系成立.此式表明,当质点间只有有心力作用,而无外力作用时,系统的总角动量不随时间变化.也就是说,角动量守恒定律成立.
平面运动
物体只受到有心力作用,以该力的中心为旋转参考点,角动量守恒；注意到角动量是矢量,故其方向始终不会改变.假设物体不是在某一个固定的平面内运动,则F与r所在平面的法向量之方向必然改变,矛盾.
可以推出：若物体只受到有心力作用,则运动保持在某一个平面内.