已知长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为12（1）求其外接球体积的最小值（2）在（1）的条件下,求证直线B1D⊥平面ACD1

Question

已知长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为12
（1）求其外接球体积的最小值
（2）在（1）的条件下,求证直线B1D⊥平面ACD1

Answer 1

（1）设长方体三边长a,b,c
则表面积s = 2(ab+bc+ca) = 12
即ab+bc+ca=6
所以外接球直径d=(2r)^2 = a^2+b^2+c^2
= (a^2+b^2 + b^2+c^2 + c^2+a^2)/2
≥(2ab+2bc+2ca)/2
= ab+bc+ca
= 6 ,(当且仅当a=b=c时,取等号)
即 r ≥√6 /2
所以体积V =（ 4/3）πr^3 ≥ （4/3）π（√6 /2）^3= 6√6=π√6
即其外接球体积的最小值为π√6
(2)由（1）知长方体是正方体
所以AC⊥斜线B1D在面ABCD上的射影BD,
所以AC⊥斜线B1D
同理CD1⊥斜线B1D
又AC,CD1交于C
所以直线B1D⊥平面ACD1