有一个轴截面为正三角形的圆锥形容器,内放如一个半径为R的内切球,在这个容器内注入水,现把球从容器中取出,水不损耗,且球取出后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多

Question

有一个轴截面为正三角形的圆锥形容器,内放如一个半径为R的内切球,在这个容器内注入水,现把球从容器中取出,水不损耗,且球取出后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多少?
圆锥是正放的,不是倒的
不要复制粘贴,不然我就不会白花钱提问.用我会的计算方法啊.是正放!

Answer 1

在轴截面上,球的截面即正三角形的内接球,球的半径是R,则正三角形的边长就是2√3R,圆锥底面半径就是√3R,圆锥的高是3R.
注入水把球拿出来后水成了一个圆台,而圆台上空出的小圆锥的体积就等于球的体积,设这个小空气圆锥的底圆半径是r,则高就是√3r.
4/3*πR^3=1/3*π*√3r*r^2 r^3=4/3*√3R^3 r=2^(2/3)*3^(-1/6)R
小圆锥的高=√3r=√3*2^(2/3)*3^(-1/6)R=2^(2/3)*3^(1/3)R=12^(1/3)R
水的高度=圆台高=大圆锥高-小圆锥高=3R-12^(1/3)R=[3-12^(1/3)]R