球与圆台的上下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3：4，则球的体积与圆台的体积之比为．

Question

球与圆台的上下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3：4，则球的体积与圆台的体积之比为______．

Answer 1

设球半径为R，圆台上底半径为r，圆台下底半径为r′，
因为球与圆台上下侧面都相切，所以圆台侧面长l=r+r′，
又∵球面面积与圆台的侧面积之比为3：4，
∴π﹙r+r′﹚²：4πR²=4：3①
﹙r′-r﹚²+﹙2R﹚²=﹙r+r′﹚²②
解之r′=3r，则R=√(3)r，
V_球=(4)/(3)πR³=(12√(3)π)/(3)r3，
V_台=(1)/(3)π（r²+r′²+rr′）2R=(26√(3)π)/(3)r3，
V_球：V_台=6：13．
故答案为：6：13