一道数学题设n是整数,求证:若2+2√（1+12n^2）是整数,则它是完全平方数.

Question

一道数学题
设n是整数,求证:若2+2√（1+12n^2）是整数,则它是完全平方数.

Answer 1

若2+2√（1+12n^2）是整数,则√（1+12n^2）是整数,不然,只能是√（1+12n^2）=M+0.5,M是整数,但这样,1+12n^2=（M+0.5）^2=m+0.25,m为整数,矛盾.故√（1+12n^2）是整数,设√（1+12n^2）=A,A>=1,则3*2*2*n^2=(A+1)(A-1),显然,A+1与A-1不可能拥有大于2的公因子,易知,A+1与A-1同奇偶,故都是偶数.不考虑A=1（即n=0）的情况,即A>1时,A-1>0.A+1与A-1都含有因子2,设A+1=a*2,A-1=b*2,则a、b互质且a-b=1,ab=3*n^2.n=2时,a=4,b=3,成立；n=3时ab=9,显然不成立；n>3时,将之带入2+2√（1+12n^2）得2+2√（1+12n^2）=4a,下面只需要证明a是完全平方数即可.由a、b互质且a-b=1,ab=3*n^2可知仅有两种情况：a是完全平方数且b是一个完全平方数的3倍,这种情况下结论显然成立,不再讨论；a是一个完全平方数的3倍且b是一个完全平方数,下面证明这种情况是错误的,如此,即可使结论得证.反证：设a=3*x^2,b=y^2,x、y都是整数且互质,y中不含因子3.且a-b=1,即3*x^2-y^2=1.（有事待会补上）