已知a+b+c=0,求证:(a^5+b^5+c^5)/5=(a^3+b^3+c^3)/3*(a^2+b^2+c^2)/2

Question

已知a+b+c=0,求证:(a^5+b^5+c^5)/5=(a^3+b^3+c^3)/3*(a^2+b^2+c^2)/2

Answer 1

1/2(a^2＋b^2＋c^2)
＝1/2[(a＋b＋c)^2－2(ab＋bc＋ca)]
＝－(ab＋bc＋ca)
1/3(a^3＋b^3＋c^3)
＝1/3[(a＋b＋c)(a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca)＋3abc]
＝－abc
∴1/2(a^2＋b^2＋c^2)*1/3(a^3＋b^3＋c^3)＝－abc(ab＋bc＋ca)
1/2(a^2＋b^2＋c^2)*1/3(a^3＋b^3＋c^3)
＝1/6(a^5＋a^2b^3＋a^2c^3＋a^3b^2＋b^5＋b^2c^3＋a^3c^2＋b^3c^2＋c^5)
＝1/6(a^5＋b^5＋c^5)＋1/6[a^3(b^2＋c^2)＋b^3(a^2＋c^2)＋c^3(a^2＋b^2)]
＝1/6(a^5＋b^5＋c^5)＋1/6{a^3[(b＋c)^2－2bc]＋b^3[(a＋c)^2－2ac]＋c^3[(a＋b)^2－2ab]}
＝1/6(a^5＋b^5＋c^5)＋1/6{a^3[a^2－2bc]＋b^3[b^2－2ac]＋c^3[c^2－2ab]}
＝1/6(a^5＋b^5＋c^5)＋1/6{a^5－2a^3bc＋b^5－2ab^3c＋c^5－2abc^3}
＝1/6(a^5＋b^5＋c^5)＋1/6{(a^5＋b^5＋c^5)－2abc(a^2＋b^2＋c^2)}
＝1/3(a^5＋b^5＋c^5)－1/3abc(a^2＋b^2＋c^2)
＝1/3(a^5＋b^5＋c^5)－1/3abc[(a＋b＋c)^2－(2ab＋2bc＋2ca)]
＝1/3(a^5＋b^5＋c^5)＋2/3abc(ab＋bc＋ca)
∴1/3(a^5＋b^5＋c^5)＋2/3abc(ab＋bc＋ca)＝－abc(ab＋bc＋ca)
∴－abc(ab＋bc＋ca)＝1/5(a^5＋b^5＋c^5)
∴1/2(a^2＋b^2＋c^2)*1/3(a^3＋b^3＋c^3)
＝－abc(ab＋bc＋ca)
＝1/5(a^5＋b^5＋c^5)