设直线l:y=kx+3与圆O:x2+y2=16,若l与圆O相交于A,B,当k为何值时,角AOB=90度

Question

设直线l:y=kx+3与圆O:x2+y2=16,若l与圆O相交于A,B,当k为何值时,角AOB=90度

Answer 1

设A（x1,y1)B(x2,y2)
y=kx+3代入圆得x^2+(kx+3)^2=16 化简得(k^2+1)x^2+6kx-7=0
则x1*x2=-7/(k^2+1)
k不等于0时 y=kx+3 得x=(y-3)/k 同样代入得=[(y-3)/k]^ 2+y^2=16
化简(1+k^2)y^2-6y-16k^2+9=0 y1*y2=-(16k^2-9)/(1+k^2)
圆O:x2+y2=16,圆心O（0,0）
所以向量OA=(x1,y1) OB=(x2,y2)
角AOB=90度
OA*OB=x1*x2+y1*y2=0
-7/(k^2+1)-(16k^2-9)/(1+k^2)=0
(-7-16k^2+9)/(1+k^2)=0 (16k^2-2)/(1+k^2)=0 (1+k^2)>0 所以16k^2-2=0 k^2=1/8
K=±√2/4
当K=0时 直线是y=3 代入得 x=±√7 A(√7,3) B(-√7,3)
OA*OB=-7+9=2不等于0 K=0不满足条件
所以K=±√2/4时角AOB=90度