已知椭圆：如图第3小题,

Question

已知椭圆：如图
第3小题,

Answer 1

(1)
由题意：
c/a=√2/2,bc=1.
再由a^2=b^2+c^2,
得a=√2,b=1,c=1.
即y^2/2+x^2=1.
且焦点：F1(0,1),F2(0,-1).
(2)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),l:y=kx+1.
l与椭圆方程联立,得
x1+x2=-2k/(k^2+2),x1x2=-1/(k^2+2),y1+y2=4/(k^2+2),y1y2=(2-2k^2)/(k^2+2).
设PQ中点为N,则N(-k/(k^2+2),2/(k^2+2)).
又因为l的中垂线与l垂直,故斜率为-1/k.
所以中垂线方程为y=-x/k+1/(k^2+2).
即m=1/(k^2+2).
又因为k取全体实数,所以m的范围为(0,1/2].
(3)
由点到直线距离公式,
|MN|=(1-m)/ √(k^2+1).
且|PQ|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2].
由弦长公式得,|PQ|=2√2*(k^2+1)/(k^2+2).
所以S=1/2|MN||PQ|=√2*m^2*(k^2+1) √(k^2+1).
由(2)可知,k^2=(1-2m)/m.
代入S,得S=√2*√[m(1-m)^3].
当m=1/4时取最大值,Smax=3√3/16.