甲杯装水,乙装酒精,水和酒精一样多,从甲杯中到一些水到乙杯,再从乙杯到同样多到甲杯,100次后,问最后甲杯中的酒精多还是乙杯中的水多（答案知道了是一样多,可是……提供以下过程的啦!

Question

甲杯装水,乙装酒精,水和酒精一样多,从甲杯中到一些水到乙杯,再从乙杯到同样多到甲杯,100次后,
问最后甲杯中的酒精多还是乙杯中的水多（答案知道了是一样多,可是……提供以下过程的啦!）

Answer 1

设原来甲有水x1,乙有酒精x1
再设第一次甲到给乙a1这么多水
则乙中有水a1,酒精x
乙再倒还给甲a1这么多溶液,其中酒精有a1x1/(a1+x1),水有a1^2/(a1+x1)
第一次后,甲有酒精a1x1/(a1+x1),乙有水a1^2/(a1+x1)
a1^2/(a1+x1)=(a1^2+a1x1-a1^2)/(a1+x1)=a1x1/(a1+x1)两者一样
不同于第一次,第二次甲乙都是溶液,不是纯液体,再算一次
前面算的只是为了证明相等,第二次重新设
甲有水x2,酒精y2,乙有酒精x2,水y2
（因为体积一样,且甲中的酒精与乙中的水一样多,所以乙中的酒精与甲中的水一样多）
再设第一次甲到给乙a2这么多溶液,其中酒精有a2y2/(x2+y2),水有a2x2/(x2+y2)
则乙中有水y2+a2x2/(x2+y2),酒精x2+a2y2/(x2+y2)
乙再倒还给甲a2这么多溶液,其中酒精有a2(x2+a2y2/(x2+y2))/(x2+y2+a2),
水有a2(y2+a2x2/(x2+y2))/(x2+y2+a2)
第一次后,甲有酒精y2-a2y2/(x2+y2)+a2(x2+a2y2/(x2+y2))/(x2+y2+a2),
乙有水y2+a2x2/(x2+y2)-a2(y2+a2x2/(x2+y2))/(x2+y2+a2)
要证两者一样,只要证
a2(x2+a2y2/(x2+y2))/(x2+y2+a2)-a2y2/(x2+y2)=a2x2/(x2+y2)-a2(y2+a2x2/(x2+y2))/(x2+y2+a2)即a2x2/(x2+y2)+a2y2/(x2+y2)=a2(x2+a2y2/(x2+y2))/(x2+y2+a2)+a2(y2+a2x2/(x2+y2))/(x2+y2+a2)
左边=a2(x2+y2)/(x2+y2)=a2
右边=a2(x2+y2+(a2x2+a2y2)/(x2+y2))/(x2+y2+a2))=a2(x2+y2+a2)/(x2+y2+a2)=a2
所以两者还是一样的
直到100次,甲乙都是溶液,当然换成x100,y100,a100也是相等的,
所以100次后甲杯中的酒精与乙杯中的水一样多