村民准备在山坡上修建房屋，需要将沙石运送到山坡顶．某辆载重汽车，空载时的质量为m1；当汽车装满沙石后，沿ABC路线行驶将沙石运至高为h的山坡顶，如图1所示，汽车在t=0时经过A处，t=

Question

村民准备在山坡上修建房屋，需要将沙石运送到山坡顶．某辆载重汽车，空载时的质量为m₁；当汽车装满沙石后，沿ABC路线行驶将沙石运至高为h的山坡顶，如图1所示，汽车在t=0时经过A处，t=t₁时经过B处，t=t₂时经过C处，在此过程中汽车的牵引力F和运动速度v随时间的变化图象可简化为图2、图3所示．已知斜坡的机械效率为η，请你通过分析、计算完成下列内容：（不计空气阻力）

（1）汽车所装沙石的质量；
（2）汽车沿斜坡BC段运动时所受的摩擦力．

Answer 1

（1）上坡时对石块做的有用功：W_有用=G_石h=m_石gh ①，
由图3可知，斜坡长L=v₂（t₂-t₁），
由图2可知，上坡时的牵引力为F₂，
上坡时牵引力做的总功：W_总=FL=F₂v₂（t₂-t₁）②，
由η=(W有用)/(W总)=(m石gh)/(F2v2(t2-t1))得：
m_石=(F2v2(t2-t1)η)/(gh) ③；
（2）根据功的原理（即：总功=有用功+额外功）可知，
上坡时牵引力做的功=克服石块重力做的功+克服货车自重做的功+克服摩擦力做的功；
所以W_总=m_石gh+m₁gh+W_f ，
结合前面①②③式可得：
F₂v₂（t₂-t₁）=(F2v2(t2-t1)η)/(gh)×gh+m₁gh+W_f，
解得克服摩擦力做的功：W_f =F₂v₂（t₂-t₁）（1-η）-m₁gh，
又因为W_f=fL，L=v₂（t₂-t₁），
所以摩擦力：f=(Wf)/(L)=(F2v2(t2-t1)(1-η)-m1gh)/(v2(t2-t1))．
答：（1）汽车所装沙石的质量为(F2v2(t2-t1)η)/(gh)；
（2）汽车沿斜坡BC段运动时所受的摩擦力为(F2v2(t2-t1)(1-η)-m1gh)/(v2(t2-t1))．