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用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果容器底面的长比宽多0.5m,那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
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答案和解析
设容器底面短边长为x m,
则另一边长为(x+0.5)m,高为3.2-2x.
由3.2-2x>0和x>0,
得0<x<1.6,
设容器的容积为ym33,
则有y=x(x+0.5)(3.2-2x),(0<x<1.6).
整理,得y=-2x33+2.2x22+1.6x,
∴y′=-6x22+4.4x+1.6.--6分
令 y′=0,有x=1.
从而在定义域(0,1.6)内只有在x=1 处使y取最大值,
这时,长x+0.5=1.5m,宽x=1m,高3.2-2x=1.2.
它的最大容积ymaxmax=1.5×1×1.2=1.8m33.
答:长1.5m,宽1m时容器的容积最大,它的最大容积是1.8m33.
则另一边长为(x+0.5)m,高为3.2-2x.
由3.2-2x>0和x>0,
得0<x<1.6,
设容器的容积为ym33,
则有y=x(x+0.5)(3.2-2x),(0<x<1.6).
整理,得y=-2x33+2.2x22+1.6x,
∴y′=-6x22+4.4x+1.6.--6分
令 y′=0,有x=1.
从而在定义域(0,1.6)内只有在x=1 处使y取最大值,
这时,长x+0.5=1.5m,宽x=1m,高3.2-2x=1.2.
它的最大容积ymaxmax=1.5×1×1.2=1.8m33.
答:长1.5m,宽1m时容器的容积最大,它的最大容积是1.8m33.
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