直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M、N,若c2=a2+b2,则向量oM乘向量oN(o为坐标原点）等于?答案是-7.我想问为什么用余弦定理算出来不合适（算出来是-2）,而运用二倍角算出来就合适着呢?

Question

直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M、N,若c2=a2+b2,则向量oM乘向量oN(o 为坐标原点）等于?
答案是-7.我想问为什么用余弦定理算出来不合适（算出来是-2）,而运用二倍角算出来就合适着呢?

Answer 1

怎么不行?你可能算错了.
设 MN 中点为 P ,容易计算原点到直线距离为 1 ,因此 |MN|=2√(9-1)=4√2 ,
1、余弦定理：|MN|^2=|OM|^2+|ON|^2-2|OM|*|ON|*cos∠MON ,
所以 |OM|*|ON|*cos∠MON=(|OM|^2+|ON|^2-|MN|^2)/2=(9+9-32)/2= -7 ,
即向量 OM*ON = -7 .
2、二倍角公式：cos∠MOP=1/3,因此 cos∠MON=cos(2∠MOP)=2(1/3)^2-1= -7/9 ,
所以向量 OM*ON=|OM|*|ON|*cos∠MON=3*3*(-7/9)= -7 .