（2012•贵州模拟）如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将三角形BAO沿AO折起，使B点与图中B1点重合，其中B1O⊥平面AOC．（Ⅰ）求二面角A-B1C-O的大小；（Ⅱ）在线段B1A上是否存在一点P

Question

（2012•贵州模拟）如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将三角形BAO沿AO折起，使B点与图中B₁点重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）在线段B₁A上是否存在一点P，使CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为(2)/(3)？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）依题意得OA、OC、OB₁两两垂直，分别以射线OA、OC、OB₁为x、y、轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，0，1），C（0，1，0）
设平面B₁OC的法向量为

n

，可得

n

＝(1，0，0)
设平面AB₁C的法向量为

m

=（x，y，z），

AB1

＝(−2，0，1)，

AC

＝(−2，1，0)
由

m

•

AB1

＝0

m

•

AC

＝0

，可得

−2x+z＝0

−2x+y＝0

，∴可取

m

＝(1，2，2)
∴cos＜

m

，

n

＞＝(m•n)/(|m||n|)=(1)/(3)
∴二面角A-B₁C-O的大小为arcsin(1)/(3)；
（Ⅱ）存在，且P为线段AB₁的中点．证明如下：
设

AP

＝λ

AB1

＝(−2λ，0，λ)，则

CP

＝

CA

+

AP

＝(2−2λ，−1，λ)
∵平面B₁OA的法向量为

m′

=（0，1，0），CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为(2)/(3)
∴|(CP•m′)/(|CP||m′|)|=(1)/(√(5λ2−8λ+5))＝(2)/(3)
∴20λ²-32λ+11=0
∴λ=(1)/(2)或λ=(11)/(10)＞1（舍去）
∴P为线段AB₁的中点．