1..已知EFGH是空间四边形ABCD的边ABBCCDDA的中点用向量证明1.EFGH共面2.BD平行面EFGH2..在平行四边形ABCD所在平面外一点O作向量OE=3OAOF=3OBOG=3OCOH=3OD求证EFGH四点共面面AC平行面EG

Question

1..已知EFGH是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA的中点 用向量证明 1.EFGH共面2.BD平行面EFGH
2..在平行四边形ABCD所在平面外一点O作向量OE=3OA OF=3OB OG=3OC OH=3OD
求证 EFGH四点共面 面AC平行面EG

Answer 1

1(1)连结AC
向量EG=EH+HG
根据中位线,可得向量HG=1/2 AC 向量EF=1/2 AC
即向量EF=HG
向量EG=EH+EF
四点共面
(2)向量BD=2FG=2EF=2(EG-EF)
BD//FG//EH且BD不在面EFGH内
故BD平行面EFGH
2(1）
因为OE=3OA,OF=3OB,OG=3OC,OH=3OD
所以EH＝3AD,FH＝3BD
因为EG=EF+FH,AD＝BD
所以EG＝EF+EH
即E.F.G.H共面!
2）
因为OE=3OA,OF=3OB,OG=3OC,OH=3OD
EG＝EF+FG＝（OF－OE）+（OG－OF）
＝（3 OB-3 OA）+（3 OC-3 OB）＝3AB+3BC＝3AC
所以EG//AC
同理可证,FH//BD
所以平面AC‖平面EG
打字不容易,