如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点A．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数

Question

如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y＝(k)/(x)（x＞0）的图象经过点A．
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ．设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．

Answer 1

（1）如图①，∵∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∵OA=2OB，AB=5，
∴4OB²+OB²=25，解得OB=√(5)，
∴OA=2√(5)，
∵AB平行于x轴，
∴OC⊥AB，
∴(1)/(2)OC•AB=(1)/(2)OB•OA，即OC=(√(5)×2√(5))/(5)=2，
在Rt△AOC中，AC=√(OA2−OC2)=4，
∴A点坐标为（4，2），
设过A点的反比例函数解析式为y=(k)/(x)，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数解析式为y=(8)/(x)；

（2）分别过P、Q作x轴垂线，垂足分别为D、H，如图②，
∵OQ⊥OP，
∴∠POH+∠QOD=90°，
∵∠POH+∠OPH=90°，
∴∠QOD=∠OPH，
∴Rt△POH∽Rt△OQD，
∴(OH)/(QD)=(PH)/(OD)=(OP)/(OQ)，
∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，Q点点坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，
∴PH=y，OH=x，OD=-m，QD=n，
∴(x)/(n)=(y)/(−m)=2，解得x=2n，y=-2m，
∵y=(8)/(x)，
∴2n•（-2m）=8，
∴mn=-2（-4＜m＜-(1)/(2)）；

（3）∵n=1时，m=-2，即Q点坐标为（-2，1），
∴OQ=√(12+(−2)2)=√(5)，
∴OP=2OQ=2√(5)，
∴S_△POQ=(1)/(2)×√(5)×2√(5)=5．