早教吧作业答案频道 -->数学-->
微积分高手请进当x趋近于0时,求((1+tanx)/(1+sinx))^(1/x^3)的极限
题目详情
微积分高手请进
当x趋近于0时,求((1+tanx)/(1+sinx))^(1/x^3)的极限
当x趋近于0时,求((1+tanx)/(1+sinx))^(1/x^3)的极限
▼优质解答
答案和解析
原式=exp{ln[(1+tanx)/(1+sin x)]/x^3}用e抬起 x→0
=exp{[(1+sinx) (sec x)^2 - cos x (1+tan x)]/[3(x^2) (1+tanx)^2]
(采用洛比塔法则 上下都→0 并化简 得到上式 )x→0
由于这里分母因式中(1+tanx)^2→1可以先取极限(分子分母中只要存在极限的因式都可以直接取得,但“和”或者“差”式就不行
=exp{[(1+sin x)(sec x)^2-cos x (1+tanx)]/[3(x^2)]x→0
=exp{[(1+sin x)-(1+tanx)(cosx)^3]/[ 3(x^2)(cos x)^2]}x→0
这里secx=1/(cosx)上下通分,且cos x→1,取极限1
=exp{[(1+sin x)-(1+tan x)(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+sin x-(cosx)^3-(sin x)(cos x)^2]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sin x)(1-(cos x)^2)-(cosx)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sin x)((sin x)^2)-(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sinx)^3-(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
这里也是分式上下都→0 也用洛比塔法则
=exp{[3((sinx)^2)(cosx)+3((cosx)^2)(sinx)]/(6x)}x→0
=exp{(sinx)(cosx)[(cosx)+(sinx)]/(2x)}x→0
sinx→x,cosx→1,等价无穷小代换并取可求极限有
=exp{[( cos x)+( sin x)]/2}取极限即可x→0
=exp (1/2)
=e^(1/2)
=exp{[(1+sinx) (sec x)^2 - cos x (1+tan x)]/[3(x^2) (1+tanx)^2]
(采用洛比塔法则 上下都→0 并化简 得到上式 )x→0
由于这里分母因式中(1+tanx)^2→1可以先取极限(分子分母中只要存在极限的因式都可以直接取得,但“和”或者“差”式就不行
=exp{[(1+sin x)(sec x)^2-cos x (1+tanx)]/[3(x^2)]x→0
=exp{[(1+sin x)-(1+tanx)(cosx)^3]/[ 3(x^2)(cos x)^2]}x→0
这里secx=1/(cosx)上下通分,且cos x→1,取极限1
=exp{[(1+sin x)-(1+tan x)(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+sin x-(cosx)^3-(sin x)(cos x)^2]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sin x)(1-(cos x)^2)-(cosx)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sin x)((sin x)^2)-(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sinx)^3-(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
这里也是分式上下都→0 也用洛比塔法则
=exp{[3((sinx)^2)(cosx)+3((cosx)^2)(sinx)]/(6x)}x→0
=exp{(sinx)(cosx)[(cosx)+(sinx)]/(2x)}x→0
sinx→x,cosx→1,等价无穷小代换并取可求极限有
=exp{[( cos x)+( sin x)]/2}取极限即可x→0
=exp (1/2)
=e^(1/2)
看了 微积分高手请进当x趋近于0时...的网友还看了以下:
求高手帮忙.设事件A在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,设事 2020-03-30 …
甲乙两辆汽车同时从AB两站相向而行,5小时后相遇,相遇后两车仍以原速继续前进,3小时后甲车离B站还 2020-05-23 …
甲、乙同时从A、B两地相对开出,五小时相遇后两车继续前进,3小时后甲到B地,乙距A地120千米,求 2020-05-23 …
甲乙两人分别从AB两地同时出发,相向而行出发,相向而行,4小时后相遇,相遇后两车继续前进3小时,此 2020-06-03 …
高数高手进进进!x->0时,(x-sinx)的等价形式是(x^3)/6.这是为什么啊, 2020-06-05 …
一台播种机宽4米,工作时,以每小时5千米的速度前进,3小时可播种多少公顷? 2020-06-10 …
一台播种机宽4米,工作时,以每小时4.5千米速度前进,3小时可以播种多少公顷 2020-06-10 …
甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行,4小时后相遇,相遇后甲车继续前进3小时到达B地,乙车每小时 2020-06-11 …
游泳池里装有一根进水管和出水管,进水管3小时进水120t,出水管2小时放水60t,如果两根同时开放, 2020-10-30 …
你即将进入初中,3年后又将进入高中,如果现在给你10000元存入银行到上高中时再用,你准备怎样存入这 2020-10-30 …