如图，在△ABC中，∠C=90°，△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：△AOP是等腰三角形；（2）求证：PE⊥AO．

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：△AOP是等腰三角形；
（2）求证：PE⊥AO．

Answer 1

证明：（1）∵∠C=90°，∠BAP=90°，
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠APB，
∴AP=AO，
∴△AOP是等腰三角形；
（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO=∠ABP，OC⊥BC，OD⊥BA，
∴CO=DO，
∵AE=OC，
∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，

AE=OD

∠AOD=∠PAE

AP=AO

，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°，
∴PE⊥AO．