如图，在△ABC中，BC=6，AC=42，∠C=45°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（2）是

Question

如图，在△ABC中，BC=6，AC=4√(2)，∠C=45°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．

（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
（2）是否存在这样的P点，使得△APD的面积等于△ABP面积的(2)/(3)？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4√(2)，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=(AE)/(AC)，即AE=ACsin45°=4√(2)×(√(2))/(2)=4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴(h)/(4)＝(6−x)/(6)，
∴h=(2)/(3)（6-x）
这样S₁=2x，S₃=(1)/(2)（6-x）•(2)/(3)6-x）=(1)/(3)（6-x）²，
S₂=12-2x-(1)/(3)（6-x）²，
即y＝−(1)/(3)x2+2x，
∵P点只能在线段BC上移动，且不能与B、C两点重合
∴函数自变量的取值范围是0＜x＜6；
（2）由（1）可知AE=4，
∴S△ABP＝(1)/(2)BP•AE＝(x)/(2)•4＝2x，
若S△APD＝(2)/(3)S△ABP则−(1)/(3)x2+2x＝(2)/(3)•2x
即x²-2x=0解得x₁=2，x₂=0（舍去）
∵0＜2＜6，
∴在BC边上存在一点P（BP=2），使△APD的面积等于△ABP的面积的(2)/(3)．