如图，AD是O的直径，AB为O的弦，BC与O相切，B为切点，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：OP⊥AD；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．

Question

如图，AD是 O的直径，AB为 O的弦，BC与 O相切，B为切点，OP与AB
的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．

（1）求证：OP⊥AD；
（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OB，
∵BC切 O于B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠CBP+∠OBA=90°．
∵BC=PC，
∴∠CBP=∠P，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠A+∠P=90°，
∴∠AOP=90°．
∴OP⊥AD；
（2） 如图，连结DB．
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△AOP，
∴(AB)/(AO)=(AD)/(AP)，
即(2)/(3)=(6)/(AP)，
解得：AP=9，
∴BP=AP-BA=9-2=7．