如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；（2）在（1）的条件下，求DEBE

Question

如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．

（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；
（2）在（1）的条件下，求 (DE)/(BE)的值；
（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP， (DE)/(BE)的值为___．（直接填答案）

Answer 1

（1）如图，∵BP⊥AG，∠BAD=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABP和△DAG中，

∠BAP=∠ADG=90°

∠ABF=∠DAG

AB=DA

，
∴△ABP≌△DAG（AAS），
∴AG=BP；

（2）∵△ABP≌△DAG，
∴AP=DG，
∵AP=(1)/(2)AD，
∴DG=(1)/(2)AD=(1)/(2)AB，
∵AB∥CD，
∴△DGE∽△BAE，
∴(DE)/(BE)=(DG)/(BA)=(1)/(2)；

（3）设AP=a，则AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，
∵BP⊥AG，∠BAD=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ABF=∠DAG，
又∵∠BAP=∠ADG，
∴△ABP∽△DAG，
∴(AP)/(GD)=(AB)/(DA)，即(a)/(DG)=(6a)/(2a)=3，
∴DG=(1)/(3)a，
∵AB∥GD，
∴△DGE∽△BAE，
∴(DE)/(BE)=(DG)/(BA)=((1)/(3)a)/(6a)=(1)/(18)．
故答案为：(1)/(18)．