已知由整数组成的数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且a1=a，2Sn=anan+1．（1）求a2的值；（2）求{an}的通项公式

Question

已知由整数组成的数列 {a _n } 各项均不为 0 ，其前 n 项和为 S _n ，且 a ₁ =a ， 2S _n =a _n a _n+1 ．

（ 1 ）求 a ₂ 的值；

（ 2 ）求 {a _n } 的通项公式；

（ 3 ）若 n=15 时， S _n 取得最小值，求 a 的值．

Answer 1

【考点】 数列递推式；数列的求和．

【专题】 等差数列与等比数列．

【分析】 （ 1 ）由已知得 2a ₁ =a ₁ a ₂ ，由此能求出 a ₂ =2 ．

（ 2 ）由 2S _n =a _n a _n+1 ，得 2S _{n ﹣ 1} =a _{n ﹣ 1} a _n ， n≥2 ，从而 a _n+1 ﹣ a _{n ﹣ 1} =2 ，由此能利用等差数列的通项公式求出 {a _n } 的通项公式．

（ 3 ）由（ 2 ）得 S _n = ，从而 S ₁₅ 为最小值等价于 S ₁₃ ≥S ₁₅ ， S ₁₅ ≤S ₁₇ ，由此结合已知条件能求出 a 的值．

【解答】 （ 1 ） ∵2S _n =a _n a _n+1 ，

∴2S ₁ =a ₁ a ₂ ，即 2a ₁ =a ₁ a ₂ ，

∵a ₁ =a≠0 ，

∴a ₂ =2 ．

（ 2 ） ∵2S _n =a _n a _n+1 ， ∴2S _{n ﹣ 1} =a _{n ﹣ 1} a _n ， n≥2 ，

两式相减，得： 2a _n =a _n （ a _n+1 ﹣ a _{n ﹣ 1} ），

∵a _n ≠0 ， ∴a _n+1 ﹣ a _{n ﹣ 1} =2 ，

∴{a _{2k ﹣ 1} } ， {a _2k } 都是公差为 2 的等差数列，

当 n=2k ﹣ 1 ， k ∈ N ^* 时， a _n =a ₁ + （ k ﹣ 1 ） ×2=a+n ﹣ 1 ，

当 n=2k ， k ∈ N ^* 时， a _n =2+ （ k ﹣ 1 ） ×2=2k=n ．

∴ ．

（ 3 ） ∵2S _n =a _n a _n+1 ， ，

∴S _n = ，

∵ 所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，

∴ 当 n 为偶数时， a _n ＞ 0 ， ∴ 此时 S _n ＞ S _{n ﹣ 1} ，

∴S ₁₅ 为最小值等价于 S ₁₃ ≥S ₁₅ ， S ₁₅ ≤S ₁₇ ，

∴a ₁₄ +a ₁₅ ≤0 ， a ₁₆ +a ₁₇ ≥0 ，

∴14+15+a ﹣ 1≤0 ， 16+17+a ﹣ 1≥0 ，

解得﹣ 32≤a≤ ﹣ 28 ，

∵ 数列 {a _n } 是由整数组成的， ∴a ∈ { ﹣ 32 ，﹣ 31 ，﹣ 30 ，﹣ 29 ，﹣ 28} ，

∵a≠0 ， ∴ 对所有的奇数 n ， a _n =n+a ﹣ 1≠0 ，

∴a 不能取偶数， ∴a= ﹣ 31 ，或 a= ﹣ 29 ．

【点评】 本题考查数列的第二项的值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列的前 15 项和取得最小值的实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．