已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足|an+1-an|=2，b2n+1=4b2n，且a1=1，b1=-1．（1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数r（r∈N*）

Question

已知两个无穷数列{a_n}，{b_n}分别满足|a_n+1-a_n|=2，b

2

n+1

=4b

2

n

，且a₁=1，b₁=-1．
（1）若数列{a_n}，{b_n}都为递增数列，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足：存在唯一的正整数r（r∈N^*），使得c_r+1<c_r，称数列{c_n}为“梦r数列”；设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，
①若数列{a_n}为“梦5数列”，求S_n；
②若{a_n}为“梦r₁数列”，{b_n}为“梦r₂数列”，是否存在正整数m，使得S_m+1=T_m，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）数列{a_n}，{b_n}都为递增数列，
∴a_n+1-a_n=2，b2=-2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，
∴a_n=2n-1，bn=

-1，n=1

2n-1，n≥2

；                            
（2）①∵数列{a_n}满足：存在唯一的正整数r=5，使得a_r+1<a_r，且|a_n+1-a_n|=2，
∴数列{a_n}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，
故Sn=

n2，n≤5

n2-4n+20，n≥6

；                                   
②∵

b

2 n+1

=4bn2即b_n+1=±2b_n，
∴|bn|=2n-1，
而数列{b_n}为“梦数列”且b₁=-1，
∴数列{b_n}中有且只有两个负项．
假设存在正整数m，使得S_m+1=T_m，显然m≠1，且T_m为奇数，而{a_n}中各项均为奇数，
∴m必为偶数．                                                
首先证明：m≤6．
若m>7，数列{a_n}中(Sm+1)max=1+3+…+(2m+1)=(m+1)2，
而数列{b_n}中，b_m必然为正，否则Tm=-1+b2+…+(-2m-1)≤-1+21+…+2m-2+(-2m-1)=-3<0，显然矛盾；（※）
∴(Tm)min=-1+21+…+(+2m-3)+(-2m-2)+2m-1=2m-1-3，
设cm=2m-1-(m+1)2-3，
易得dm=cm+1-cm=2m-1-2m-3，
而dm+1-dm=2m-1-2>0，（m>7），
∴{d_m}