求数列1/2,2/4,3/8,4/16的前n项和公式我只算出来了An=n/2∧n然后就不会的希望能把每一步都写出

Question

求数列1/2,2/4,3/8,4/16 的前n项和公式
我只算出来了An=n/2∧n 然后就不会的 希望能把每一步都写出

Answer 1

Sn = 1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + ...+ n/2^n
2Sn = 1 + 2/2^1 + 3/2^2 + ...+ n/2^(n-1)
所以 Sn
= 2Sn - Sn
= (1 + 2/2 + 3/2^2 + ...+ n/2^(n-1)) - (1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + ...+ n/2^n)
= 1 + 1/2 + 1/2^2 + ...+ 1/2^(n-1) - n/2^n
= 2 - 1/2^(n-1) - n/2^n
= 2 - (n+2)/2^n