（2013年四川绵阳14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性

Question

（2013年四川绵阳14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： ；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 ，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S _{四边形BCHG} ，S _{△ AGH} 分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 的最大值．

Answer 1

（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E，

∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点。
∴DE是中位线。∴DE∥AC，且DE= AC。
∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。
∴ 。
∵AD=AO+OD，
∴ 。
（2）答：点O是△ABC的重心。证明如下：
如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，

则点Q为△ABC的重心。
由（1）可知，    ，
而 ，
∴点Q与点O重合（是同一个点）。
∴点O是△ABC的重心。
（3）如答图3所示，连接DG．

设S _{△ GOD} =S，由（1）知 ，即OA=2OD，
∴S _{△ AOG} =2S，S _{△ AGD} =S _{△ GOD} +S _{△ AGO} =3S。
为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S _{△ BGD} =3xS．
∴S _{△ ABD} =S _{△ AGD} +S _{△ BGD} =3S+3xS=（3x+3）S。
∴S _{△ ABC} =2S _{△ ABD} =（6x+6）S。
设OH=k•OG，由S _{△ AGO} =2S，得S _{△ AOH} =2kS，
∴S _{△ AGH} =S _{△ AGO} +S _{△ AOH} =（2k+2）S。
∴S _{四边形BCHG} =S _{△ ABC} ﹣S _{△ AGH} =（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。
∴  ①。
如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE。
∵OF∥BC，∴ 。∴OF= CD= BC。
∵GE∥BC，∴ 。∴ 。
∴ ，∴ 。
∵OF∥GE，∴ 。∴ ，即 。
∴ ，代入①式得：
。
∴当x= 时， 有最大值，最大值为 。

（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。
（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知， ，而已知 ，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心。
（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出 的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。