随机信号题目求助：已知X服从泊松分布,求X的特征函数.哪位高手能解的,就请写上你的详细过程吧,谢谢了

Question

随机信号题目求助：已知X服从泊松分布,求X的特征函数. 哪位高手能解的,就请写上你的详细过程吧,谢谢了

Answer 1

很简单啊.
特征函数E(exp(itx)),其中x服从泊松分布,于是(我中间都是乘起来的,没写乘号而已)
E(exp(itx))
= sum (k从0到无穷) exp(itk) exp(-lambda) lambda^k / k!
= exp(-lambda) sum (k从0到无穷) [exp(it)]^k lambda^k / k!
= exp(-lambda) sum (k从0到无穷) [ lambda exp(it) ] ^k / k!
= exp(-lambda) exp { lambda exp(it) }
= exp [ lambda (exp(it) - 1) ],解毕.
原理就是想方设法把指数为k的项并到一起,然后反过来使用指数函数exp(x)的泰勒展开式. 以上sum是求和符号,exp是指数符号,^k是k次幂,lambda就是泊松分布的参数.