用√2的连分数表示式求√2的近似解

Question

用√2的连分数表示式求√2的近似解

Answer 1

题：将根号2化为连分数
设√(2)=y=1+x
于是xx+2x=1,于是x+2=1/x,
于是1/x=2+x=2+1/(x+2)=2+1/(2+1/(1/x))
由此迭代,可构成循环连分数.
即√(2)=1+1/{2+1/{}}
我将它写成：√(30)=[1;(2)],其中(2)是循环节.
近似分数：
f1=1+1/2=3/2
f2=1+1/(2+1/2)=1+2/5=7/5
又,注意到：
y=1+1/(1/x)=1+1/(2+x)=1+1/(1+y)
故f2=1+1/(1+f1),请检验.
由此类似,得:
f3=1+5/12=17/12
f4=1+12/29=41/29
...
其中f1,f3,...是过剩逼近值,f2,f4,...是不足近似值.