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一道向量证明题空间任意四个向量a,b,c,d,必存在四个不全为零的实数e,f,g,h,使ea+fb+rc+gd=0向量.
题目详情
一道向量证明题
空间任意四个向量a,b,c,d,必存在四个不全为零的实数e,f,g,h,使ea+fb+rc+gd=0向量.
空间任意四个向量a,b,c,d,必存在四个不全为零的实数e,f,g,h,使ea+fb+rc+gd=0向量.
▼优质解答
答案和解析
分两种情况证明：
当a,b,c,d中任意三个都不共面时,选取其中任意三个,如a,b,c作为空间的一组基.那么,空间中的任意一个向量都可以用这一组基来表示
取向量k=-hd,h 不等于0,
则可知,必存在不全为零的实数e,f,g,使得
k=ea+fb+gc,即ea+fb+gc+hd=0
当a,b,c,d中存在三个向量共面时,不妨设为a,b,c共面,则必存在不全为零的实数e,f,g,使得
ea+fb+gc=0
取h=0
则有,ea+fb+gc+hd=0
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当a,b,c,d中任意三个都不共面时,选取其中任意三个,如a,b,c作为空间的一组基.那么,空间中的任意一个向量都可以用这一组基来表示
取向量k=-hd,h 不等于0,
则可知,必存在不全为零的实数e,f,g,使得
k=ea+fb+gc,即ea+fb+gc+hd=0
当a,b,c,d中存在三个向量共面时,不妨设为a,b,c共面,则必存在不全为零的实数e,f,g,使得
ea+fb+gc=0
取h=0
则有,ea+fb+gc+hd=0
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