某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，…，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D之间满足关系式D=n2+kn+90，该乐器的最低动听指数为4k+106，求常数k的取值范围．

Question

某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，…，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D之间满足关系式D=n²+kn+90，该乐器的最低动听指数为4k+106，求常数k的取值范围．

Answer 1

抛物线D=n²+kn+90的对称轴为n＝−(k)/(2)
（1）当−(k)/(2)≤1即k≥-2时，有n=1，D=4k+106，
故1²+k+90=4k+106，
解得：k=-5（不合题意），
（2）当−(k)/(2)≥10，即k≤-20时，有n=10，D=4k+106，
故10²+10k+90=4k+106，
解得：k=-14（不合题意），
（3）当1＜−(k)/(2)＜10，即-20＜k＜-2时，n在取值范围−(k)/(2)−(1)/(2)≤n≤−(k)/(2)+(1)/(2)内，
D有最低动听指数，且为4k+106，
故[−(k)/(2)+(1)/(2)]2+k[−(k)/(2)+(1)/(2)]+90≥4k+106
化简得（k+7）（k+9）≤0，
解得-9≤k≤-7．
综上所述，k的取值范围是-9≤k≤-7．