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在△ABC中,abc分别为角ABC的对边,且acos2（C/2）+ccos2（A/2）=3/2b求证B≤π/3
题目详情
在△ABC中,a b c分别为角A B C 的对边,且acos2（C/2）+ccos2（A/2）=3/2b求证B≤π/3
▼优质解答
答案和解析
正弦定理得
sinA[(1+cosC)/2]+sinc[(1+cosA)/2]=(3/2)sinB
sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB
sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
sinA+sinC=2sinB
再次正弦定理
a+c=2b
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
=[a²+c²-(a+c)²/4]/2ac
=(3/8)[(a²+c²)/ac]-(1/4)【前面式子可利用均值不等式】
≥（3/4）-（1/4）
=1/2,于是B≤π/3
sinA[(1+cosC)/2]+sinc[(1+cosA)/2]=(3/2)sinB
sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB
sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
sinA+sinC=2sinB
再次正弦定理
a+c=2b
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
=[a²+c²-(a+c)²/4]/2ac
=(3/8)[(a²+c²)/ac]-(1/4)【前面式子可利用均值不等式】
≥（3/4）-（1/4）
=1/2,于是B≤π/3
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