数学题的不同解法这是一道立体几何题,上面用的是坐标法,我想问下第二问如何用向量法或几何法证明

Question

数学题的不同解法
这是一道立体几何题,上面用的是坐标法,我想问下第二问如何用向量法或几何法证明

Answer 1

第二问（纯几何办法）：由三角形APB等腰,角APB=60,可得APB是等边三角形.令AP长度为1,那么AB=1.显然三角形AHB是等腰直角三角形,所以AH=1/根号2.又角ADB=60,可得AD=2/根号6.由A向平面PEH作垂线,交于N,则N在平面ABCD上,这是因为平面PEH垂直于平面ABCD.连接AN,NP,NE.因为E是中点,所以角NEA=角DEH=2x角DAH=60.所以AN=AEx(根号3)/2=ADx(根号3)/4=1/(2根号2).所求正弦值即为AN/AP=1/(2根号2).
解析方法（坐标法）的好处在于只要不缺条件,你一定能算出答案来.坏处在于可能化繁为简也可能化简为繁,不试不知道.几何办法就需要经验和洞察力了,立体几何的话空间感也得好些.