在地面上垂直向上以第二宇宙速度v=√(2gR)发射一物体,R为地球半径,g为重力加速度,求此物体到达与地心相距为nR时所需的时间

Question

在地面上垂直向上以第二宇宙速度v=√(2gR) 发射一物体,R为地球半径,g为重力加速度,求此物体到达与地心相距为nR时所需的时间

Answer 1

设t时刻飞船距地心x
则有:
a=-GM/x²
上式两端对x积分,得
∫adx=GM/x+C
又a=dv/dt
∴1/2*v²=GM/x+C
又当t=0时v=√(2gR)
∴1/2*v²=GM/x
即v=√(2GM/x)
得(√x)*dx=(√2GM)dt
积分得:
x^(3/2)=3/2[(√2GM)t+2/3R^(3/2)]
又g=GM/R²
即
x^(3/2)=3/2{[R√(2g)]t+2/3R^(3/2)}
再代入x=nR即得答案.