x^2arcsinx/adx的定积分怎么求其中x^2是x的平方.这样做怎么错了.令arcsinx/a=t那么x=asint原式=∫a∧2sint的平方×costdt,

Question

x^2arcsinx/adx的定积分怎么求 其中x^2 是 x的平方.
这样做怎么错了.令arcsin x/a=t那么x=asin t
原式=∫a∧2sint的平方×costdt,

Answer 1

当然有问题,还有t?代换后积分是：原式=∫ta^2sin^2tcostdt
本题可以用分部积分：
∫x^2arcsinx/adx
=∫arcsinx/ad(x^3/3)
=arcsinx/a*(x^3/3)-∫(x^3/3)darcsinx/a
=(x^3/3)arcsinx/a-(1/3)∫x^3/a√(1-(x/a)^2)*dx
=(x^3/3)arcsinx/a-(a/6)∫(x/a)^2√(1-(x/a)^2)*d(x/a)^2
==(x^3/3)arcsinx/a+(a/9)(2a^2+x)√(1-(x/a)^2)+C