证明方程x=asinx+b至少有一个正根,其中a>0,b>0,并且不超过a+b.

Question

证明方程 x=asinx+b至少有一个正根,其中a>0,b>0,并且不超过a+b.

Answer 1

证明：
令f(x)=x-asinx-b
易知f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b
=a-asin(a+b)≥a-a=0
f(0)=-b<0
因f(x)在[0,a+b]上连续
据连续函数的中值定理
存在t∈（0,a+b],使得f（t）=0
显然t即为x=asinx+b的正根
且t≤a+b